Plusieurs approches sont décrites dans la "littérature" pour répondre à cette question.

La formulation la plus claire est la suivante :

En pratique il faut chercher à conserver Δn < 1/4 pour avoir une image bien nette.

Ce qui donne les valeurs numériques suivantes (pour λ = 0.55µ et Δn = 1/4) :
 

F/D	4	6	10	15	20	30	40
F - F' (µ)	32	72	200	450	800	1800	3200
F - F' (mm)	0.032	0.072	0.20	0.45	0.80	1.80	3.20

On constate donc plusieurs choses intéressantes :

• Les instruments "ouverts" (c'est à dire F/D < 10) ont une tolérance de mise au point

très faible (quelques dizaines de microns !),
• Pour F/D = 10 on atteint 2/10 de mm, c'est mieux … mais pas encore bien large ….
• Les valeurs du tableau ci dessus donnent la longueur totale de la plage de MAP, mais

en pratique la tolérance est encore réduite car il faut rester à l'intérieur de cette plage
• C'est mieux dans le rouge (λ = 0,7µ donc + 30%) mais pire dans le bleu (λ = 0,4µ donc - 30%)
• Ces instruments sont donc très sensibles à la défocalisation (par exemple effets de la

température), le dispositif de mécanique de MAP doit être très précis et la MAP vérifiée souvent
• La tolérance de MAP croît très vite avec F/D (au carré selon la formule)
• Pour de grands rapports d'ouverture cela devient donc confortable (on atteint le mm)

bonne nouvelle pour le planétaire ….
 
 

Démontrons la formule introduite ci-dessus.

Considérons l'image d'un point lumineux (une étoile) au foyer de l'instrument (voir Figure 1) en lumière
monochromatique. Cette image est le point de convergence d'une onde sphérique formée à partir
de la pupille d'entrée de diamètre D ("l'entrée" du télescope). La surface de l'onde W ou le "front d'onde"
(c'est à dire les points de l'onde qui sont tous en phase) est donc un morceau de sphère dont le rayon
est égal à la distance focale F de l'instrument (au niveau de la pupille d'entrée).

Figure 1

La notion de distance "sagittale" S (voir Figure 1) permet de mesurer cet écart :
les deux fronts d'onde sont décalés de S - S'. Pour que l'image soit nette il faut  réaliser
la condition S - S' = Δn λ, ce qui conduit à une condition sur F - F' (qui mesure la défocalisation)

Le bon vieux Pythagore donne F - S = racine(F² - (D/2)²) et de même F' - S = racine(F'² - (D/2)²)
en élevant au carré et en tripotant un peu ces équations on arrive à la formule exacte :

F - F' = (S/2 - D²/8S) - (S'/2 - D²/8S') qui est absolument inutilisable telle quelle ……

Il faut donc ruser : on peut approximer S par D²/8F si F/D >> 1 et de la même façon S' = D²/8F'
on obtient alors : Δn λ = D²/8 (1/F - 1/F')
puis en simplifiant FF' par F² on arrive à ce que l'on cherchait à démontrer :

Mais pourquoi (fichtre !) la limite pour Δn est elle de 1/4 et pourquoi pas moins que cela ?
ou plus d'ailleurs ? Et comment détermine-t'on ce résultat ?

Il faut alors considérer les effets diaboliques de la diffraction …….!

L'image d'un point lumineux - c'est bien connu - n'est en fait pas du tout réduite à un point au foyer
du télescope, mais forme une tache plus ou moins baveuse entourée d'anneaux (la figure d'Airy).
Le rayon de l'anneau noir qui délimite la tache centrale est idéalement (au foyer, sans aberrations
et sans turbulence) égal à 1.22 λ (F/D).
Les images de deux points lumineux de même intensité (deux étoiles) ne seront distinguables que si les
centres des taches sont au moins séparés d'une distance égale au rayon de la tache d'Airy
(ou même 85% du rayon disent certains …).
 

Mais que se passe-t'il (diantre !) en dehors du plan focal ? que devient l'image de l'étoile ou
surtout l'image d'une planète lorsqu'on défocalise ? (oui, nous brûlons de le savoir ...)

La Figure 2 représente une coupe transversale donnant l'intensité (normalisée) de la tache d'Airy et son
évolution en fonction de la défocalisation Δn. On a également représenté une synthèse de l'effet correspondant
sur une image de Jupiter (original emprunté sur la liste, je ne sais plus à qui …) correspondant à quelques
valeurs de Δn pour un télescope de rapport F/D = 10 avec une ouverture de 254mm.

les images de synthèse sont réalisées avec le remarque petit logiciel ABERRATOR trouvé sur Internet,
et les courbes obtenues avec un programme personnel sur Maple.
 
 

• Tout d'abord la tache de diffraction commence par s'écrouler sur elle même "verticalement"

(c'està dire sans s'évaser) lorsque la défocalisation augmente. Lle disque d'Airy devient moins
net mais son diamètre reste à peu près constant jusqu'à Δn = 0,6 environ
• Ensuite la tache s'évase franchement.
• Pour mieux illustrer ce phénomène, la Figure 3 montre (en 3D) l'évolution de l'intensité de l'image

autour du plan focal, on constate effectivement que la tache d'Airy forme une sorte de "crête d'Iroquois"
en avant et en arrière du foyer. Au-delà de cette crête, l'intensité chute et l'image s'évase rapidement.

• La Figure 4 présente cette zone de tolérance d'une autre façon. C'est l'image de synthèse

d'une "coupe" du faisceau lumineux (qui converge vers le foyer) dans le plan médian "horizontal".
La "crête d'Iroquois" est vue par le dessus et devient alors une "saucisse" (Iroquoise bien sûr).

 

Figure 4 : Vue en plan de l'intensité lumineuse
dans le plan médian "horizontal" pour une défocalisation comprise
entre Δn = -4 et Δn = +4 longueur d'ondes
(image obtenue avec Aberrator)
 

• Enfin la Figure 5 représente une nouvelle "vue de dessus" avec quelques "lignes de niveaux"

en zoomant sur les faibles intensités. La figure montre les variation de l'intensité dans le plan
médian de l'instrument (le plan focal est au fond, il correspond à Δn =0) sur une zone étendue.
(Δn varei de 0 à 6). On a écrêté l'intensité à 2% de l'intensité maxi pour mieux faire apparaître
les variations faibles. On retrouve bien (avec un peu d'imagination ...) les ondulations de la Figure 4.

Figure 5 : Répartition de l'intensité lumineuse dans le plan
"horizontal" selon la position de défocalisation

 

• Il y a donc bien une zone en avant et en arrière du foyer ou le diamètre de la tache d'Airy reste à

peu près constant … Très intéressant car ceci induit bien une tolérance de positionnement du
plan du capteur par rapport au foyer !

• Plus Δn augmente plus l'effet de flou est net (ha!, ha! … c'est le cas de le dire …), mais il ne devient

vraiment gênant que vers Δn = 1/2 et au-delà. Donc Δn = 1/4 est bien une valeur pratique utilisable
pour la définition de la tolérance de mise au point.